这篇文章利用ABJM的Fermi Gas Formalism得到了对配分函数的Instanton correction，Instanton correction主要分为两种，即worldsheet Instanton和D2 instanton
$$
J_k^{(np)}(\mu):=J_k(\mu)-J_k^{(pert)}(\mu) = J_k^{D2}(\mu)+J_k^{WS}(\mu)+\cdots
$$
这两类correction的形式是
$$
J_k^{D2}(\mu) = \sum_{m=1}^{\infty}J_k^{D2(m)}(\mu) = \sum_{m=1}^{\infty}\left[a_k^{(m)}\mu^2+b_k^{(m)}\mu+c_k^{(m)}\right]e^{-2m\mu}
$$
$$
J_k^{WS}(\mu)=\sum_{n=1}^{\infty}J_k^{WS(n)}(\mu) = \sum_{n=1}^{\infty}d_k^{(n)}e^{-\frac{4n\mu}{k}}
$$
对WS instanton，可以用拓扑弦在local $\mathbb{F}_0$上的结果推导出来所有$d_k^{(n)}$ 。对D2 instanton，则没有一套系统的办法确定系数，本文猜测了$a_k^{(1)},b_k^{(1)},c_k^{(1)}$的解析形式。



先回顾一下ABJM的Fermi Gas Formalism，对于ABJM的partition function
$$
Z_k(N)=\frac{1}{(N!)^2} \int \frac{d^N\mu}{(2\pi)^N} \frac{d^N\nu}{(2\pi)^N} \times \frac{ \prod_{i<j} \left[2\sinh\frac{\mu_i-\mu_j}{2}\right]^2 \left[2\sinh\frac{\nu_i-\nu_j}{2}\right]^2 }{ \prod_{i,j} \left[2\cosh\frac{\mu_i-\nu_j}{2}\right]^2 } \times \exp\left[ \frac{ik}{4\pi} \sum_i(\mu_i^2-\nu_i^2) \right]
$$
由于中间的一大坨分式有Cauchy identity，可以写成一个矩阵的行列式。这个矩阵就是所谓的fermi gas密度矩阵（本质是一个infinity dimensional Hankel matrix）
$$
\rho(q_1,q_2) = \frac1{k} \frac{1}{\sqrt{2\cosh\frac{q_1}{2}}} \frac{1}{2\cosh\frac{q_1-q_2}{2k}} \frac{1}{\sqrt{2\cosh\frac{q_2}{2}}}
$$
对于Fermi Gas system，其Grand Canonical有identity
$$
\Xi_k(\mu) = 1+\sum_{N=0}^{\infty}Z_k(N)e^{\mu N} = \det(1+e^{\mu}\rho)
$$
由于密度矩阵有Parity invariance $\rho(-q_1,-q_2) = \rho(q_1,q_2)$，可以进行分解
$$
\rho_\pm(q_1,q_2) = \frac12 \left[ \rho(q_1,q_2)\pm \rho(q_1,-q_2) \right]
$$
其中$\rho = \rho_{+}+\rho_{-}$，这样就有Grand Canonical的宇称分解$\Xi(\mu) = \det(1+z\rho_+)\det(1+z\rho_-)$ 。一个核心恒等式是（这块有很多技术性的东西，其中一点是$\rho_{+}$可以写成一个“integrable kernel”，这种integrable kernel的n次方可以用一个递推函数$\phi^{\ell}$表达，这称为Tracy-Widom方法）
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\frac{\det(1+z\rho_-)} {\det(1-z\rho_+)} = \sum_{\ell=0}^\infty \phi^\ell(0)z^\ell
$$
因此Grand Canonical的结构为
$$
\Xi(z) = \det(1-z^2\rho_+^2) \sum_{\ell=0}^\infty \phi^\ell(0)z^\ell
$$
而前面的也可以通过det-tr relation变为$\rho^{2n}_{+}$的关系，这样我们可以只用算$\rho_{+}$了。


现在讨论非微扰结果，general的结果是
$$
J_k(\mu) = J_k^{\mathrm{pert}}(\mu) + \sum_{n=1}^{\infty} J_k^{(n)}(\mu)e^{-4n\mu/k}
$$
此时D2和WS瞬子很多情况下都会到同一个系数里面，对于奇数$k$，D2 1-Instanton系数消失因此不会破坏上述整数格点展开。具体方法就是反复进行“减去已知结果-计算减完的$J(\mu)$-在合适去年拟合高阶结果”。但是由于高阶项出现大量振荡现象，因此只得到了前几项的表达式。
为什么会有振荡呢？这是因为$e^{N(\mu+2\pi i)}=e^{N\mu}$，因此
$$
\Xi_k(\mu+2\pi i) = \Xi_k(\mu)
$$
但是渐进计算给出的$J^{naive}_k(\mu)$本身是非周期的。如果我们认为可以恢复周期性
$$
e^{J_k(\mu)} = \sum_{n\in \mathbb{Z}}e^{J_k^{naive}(\mu+2\pi in)}
$$
而$J_k(\mu) = J_k^{\mathrm{naive}}(\mu) + J_k^{\mathrm{osc}}(\mu)$，因此理应得到
$$
J_k^{\mathrm{osc}} = \log\left[ 1+\sum_{n\neq0} e^{J_k^{\mathrm{naive}}(\mu+2\pi in) -J_k^{\mathrm{naive}}(\mu)} \right]
$$
这说明振荡并非是任何新的Instanton种类，而是把非周期的函数恢复成周期函数时产生的效果。由于从$J$到$Z$是一个反Fourier变换，因此$Z$中不出现振荡现象，如果直接拟合$Z$的话稳定性会高很多。



对于WS Instanton: 由于ABJM可以视作lens space matrix model，而lens space matrix model和local $F_0$ 拓扑弦有large N duality，因此我们可以通过对后者的分析来得到ABJM的WS Instanton。拓扑弦的WS Instanton有因子$e^{-t}$，由于ABJM是$e^{-4\mu/k}$，则我们可以确定$Re t = \frac{4\mu}{k}$。精确的匹配为
$$
J_k(\mu) = F^{top}(t_1=t_2=t)\quad t=\frac{4\mu}{k}-\pi i
$$
因此（其中$g_s = \frac{2\pi i}{k}$，这是通过匹配矩阵模型的$\exp(-\frac{1}{2g_s}S)$和CS的$\exp(\frac{ik}{4\pi}S)$得到的）
$$
J_k^{\rm WS}(\mu) = \sum_{n,g,d} n_d^g \left( 2\sin\frac{2\pi n}{k} \right)^{2g-2} \frac{(-1)^{dn}}{n} e^{-4nd\mu/k}
$$
利用GV不变量可以得到此时的所有WS Instanton。

对于D2 Instanton:我们可以展开上面的WS Instanton，其中一个问题是系数包含
$$
\frac1{\sin^2(2\pi n/k)}
$$
这使得$k=\frac{2n}{m}$时会发散，特别地，$k=2n$(m=1)时，WS n-Instanton的贡献为$e^{-2\mu}$ ，这与m=1时的D2 1-Instanton相同，因此此时两种贡献应该互相消除发散部分。通过这个相消的原理，作者假设了D2 1-Instanton的非微扰系数。为什么对于D2 2-Instanton无法通过相消确定系数呢？在$e^{-4\mu}$阶，不仅有D2 2-Instanton贡献和WS n-Instanton贡献，还有可能有混合了D2 1-Instanton和WS Instanton的贡献$e^{-2\mu}e^{-4\mu/k}$，因此无法真正确定相消系数。



关于ABJM Instanton问题的后续，Okuyama在2013年的后续论文发现所有混合态可以通过化学势的重定义来吸收，随后进一步发现D2(M2) Instanton可以由Local$\mathbb{F}_1$的refined BPS不变量完全写出（1301.5184,1306.1734）。现在一个重要方向是从弦或者M2膜的world volume理论直接推导之前的系数，比如2304.12340和2307.14112。我之后如果有时间会读一下。