这篇文章主要工作是计算ABJM的large N topologically twisted index并且说明这个可以复现$AdS_4$黑洞的黑洞熵。

这篇主要的Setting和过程是：先把3dABJM进行topological twist使之可以放在$S^2\times S^1$上而不破坏超对称性，此时可以计算topologically twisted index $Z(n_a,\Delta_a)$，可以用Localization计算这个index。
在引力侧考虑渐进到$AdS_4\times S^7$的黑洞，此时边界理论就应该是ABJM，由于$S^7$有对称群$SO(4)$，两侧都应该有$U(1)^4\subset SO(8)$，这在引力侧对应黑洞的磁荷，在场论侧对应背景磁通。对此时的static BPS黑洞，可以看成连接渐进区域的$AdS_4$和近视界区域的$AdS_2\times S^2$
$$
AdS_4\to AdS_2\times S^2
$$
在场论语言中，这对应一个跨维度的RG flow，此时3d理论紧化在$S^2$上。
另一个比较重要的技术是extremization，因为在UV时的R对称性不一定是IR时精确的R对称性，而是受到flavor影响的
$$
R_{IR} = R_{UV} + \sum_a s_aF_a
$$
因此作者提出对$Z(n_a,\Delta_a)$里面的$\Delta_a$做极值化来得到正确的IR R symmetry。一个有趣的事情是奇数和偶数维度的极值化不一样，比如2维（a）和4维（c）都是对中心荷的极值化，而1维（Witten index）和3维（partition function，index）都是对配分函数的极值化。


第二章主要是有关twisted index的。对于twisted index，一般地可以取一个R symmetry background
$$
ds^2 = R^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)+\beta^2dt^2\quad A^R = \frac{1}{2}\cos\theta d\varphi
$$
（后面的$A^R$是一个background gauge field，即$U(1)_R$真正实现topological twist，和自旋联络抵消的部分）
背景有三个可以“打开”的量，即磁通量$n_f$ ,和scalar $\sigma^f$以及$A_t^f$的取值。这三个量可以组成为fugacity $y_f$。具体到ABJM，此时有3个flavor symmetry和一个U(1) R symmetry，可以显式写出一个较为复杂的twisted index表达式，进行一些约化之后进行Jeffrey-Kirwan留数计算，其中一个细节是需要选取reference covector来选取原点处的留数（1504.03698）。一个比较重要的点是可以通过引入一个磁通求和的上界来使得极点对应到Bethe equation，这样最终结果变为一个对Bethe方程所有解遍历求和的形式而不依赖不同磁通的求和。

在Large N情况下，由于Bethe方程的独立的解变为解一个分布，$Re\log Z$可以写成一个连续形式。在适当的sector选取（要求$\sum_a \Delta_a = 2\pi$）下，积分化简为
$$
Re \log Z = -\frac{N^{3/2}}{3}\sqrt{2\Delta_1\Delta_2\Delta_3\Delta_4}\sum_{a=1}^4\frac{n_a}{\Delta_a}
$$

第三章给出了引力侧的描述。作者所考虑的度规为
$$
ds^2 = -e^{K(X)} \left( gr-\frac{c}{2gr} \right)^2dt^2 + \frac{e^{-K(X)}\,dr^2} {\left(gr-\frac{c}{2gr}\right)^2} + 2e^{-K(X)}r^2 (d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)
$$
在定义$H(r)=gr-\frac{c}{2gr}$的情况下，度规结构为
$$
ds^2 = -e^K H^2dt^2 + e^{-K}\frac{dr^2}{H^2} + 2e^{-K}r^2d\Omega_2^2.
$$
其中$e^{-K(X)}=8\sqrt{X_1X_2X_3X_4}$，通过计算，作者发现此时
$$
S_{BH}\propto \sqrt{X_1X_2X_3X_4}\sum_{a}\frac{n_a}{X_a}
$$
此时对应到场论侧，黑洞磁荷对应场论的磁通，$X_a$对应到$\Delta_a$，$Re\log Z$对应到$S_{BH}$。对应到场论侧的extremization的是黑洞侧的所谓attractor mechanism，要求在约束$\sum_a X_a = 1$下，满足
$$
\mathcal{R}=\sum_a F_a n_a,\quad \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial X_a} = 0
$$
此时$\mathcal{R}$即attractor，而视界标量要在attractor的极值点上。


第四章主要是阐述上述两侧的对应并且举例，我没有太多再看下去的兴趣了。