这篇文章从M理论出发推导出了ABJM理论配分函数为Airy函数的起源。以及更一般的M2 brane配分函数的Airy形式。

先回顾一下ABJM的配分函数和Fermi Gas Formalism。对固定$N$的ABJM配分函数$Z(N,k)$，定义Grand Canonical Ensemble
$$
\Xi (\mu,k)=\sum_{N=0}^{\infty}Z(N,k)e^{\mu N}
$$
和Grand potential
$$
J(\mu,k)=\log\Xi(\mu,k)
$$
对ABJM矩阵模型来说，Grand Canonical Ensemble可以写成Fermi Gas形式$\Xi(\mu,k)=\det (1+e^{\mu}\hat{\rho})$ 。此时$J(\mu,b,\xi)$表达式非常简单（其中$b$为squashed sphere参数，$\xi$为其他参数）
$$
J(\mu,b,\xi) = \frac{C(b,\xi)}{3}\mu^3+B(b,\xi)\mu,A(b,\xi)+O(e^{-\mu})
$$
利用$Z(N,b,\xi)=\frac{1}{2\pi i}\int^{i\infty}_{-i\infty} d\mu \exp\left[J(\mu,b,\xi)-\mu N\right]$，此时$Z$有Airy函数形式
$$
Z_{pert} = C^{-1/3}e^A \mathrm{Ai}\left[\frac{N-B}{C^{1/3}}\right] \left(1+O(e^{-\#\sqrt{N}})\right)
$$
（这是由于Airy函数定义就是$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathcal C}dt\, e^{t^3/3-xt}$） 本文从$C\wedge G\wedge G$项中得到了$\mu^3$贡献，从$C\wedge X_8$中得到了$\mu$贡献。


这篇文章主要技术就是equivariant localization，我现在先回顾一下这个技术。核心思想是考虑在Killing vector $K$作为对称性时，固定点集$F = \{p\in M|K(p)=0\}$ 并定义和$K$相容的外微分$d_K = d - \iota_K$ 。这个新的外微分充当理论中超荷的作用，就可以进行原本的localization操作，对
$$
Z(t) = \int \mathcal{D}\phi e^{-S-tQV}\quad \frac{dZ}{dt} = 0
$$
则也可以通过$t\to \infty$将理论局部化到$QV= 0$的locus上面。其中在$F$附近，$TM|_F = TF\oplus NF$，有ABBV局域化公式
$$
\int_M\alpha = \int_F \frac{\alpha|_F}{e_K(NF)}
$$

这篇文章的具体操作是，对11 D超引力
$$
I=\frac1{(2\pi)^8\ell_p^9} \int_M\left[-R*1+\frac12G\wedge *G+\frac{i}{6}C\wedge G\wedge G\right], \qquad G=dC
$$
构造了双线性形式(其中$\epsilon$为Killing spinor)
$$
K^\flat=\bar\epsilon\Gamma_{(1)}\epsilon,\qquad \Omega=\bar\epsilon\Gamma_{(2)}\epsilon,\qquad \Sigma=\bar\epsilon\Gamma_{(5)}\epsilon
$$
然后发现$\Phi^G = G+\Omega$是满足$d_K\Phi^G=0$的形式，定义
$$
\Phi^{(\mathrm{GI})} =\frac13\Phi^G\wedge(*G+i\Sigma)
$$
和
$$
d_K\Phi^{(GI)}=-\Phi^{(anom)}\quad \Phi^{(anom)}=\frac{i}{6}(\Phi^G)^3
$$
这样作用量就变为($\partial W = M$)
$$
I = \frac1{(2\pi)^8\ell_p^9} \left[ \int_M\Phi^{(\mathrm{GI})} +\int_{W}\Phi^{(\mathrm{anom})} \right]
$$
可以通过局域化公式得到
$$
I = \frac1{(2\pi)^8\ell_p^9}\int_F \frac{\Phi^{(anom)}}{e_K(NF)}
$$
在考虑一圈修正时，$\Phi^{(anom)}$变为
$$
\Phi^{(anom)} = \frac{i}{6}(\Phi^G)^3 + i(2\pi\ell_P)^6\Phi^G\wedge\Phi^{X_8}
$$
这里$\Phi^G$就对应着Grand potential里面的$\mu$，cubic项和linear项就已经明了了。这个结论可以被推广到ABJM之外更一般的Sasaki-Einstein流形上。