对偶性是什么？两个表面上不同的场论，在某个能标极限下实际上描述同一个系统。本文考虑三维镜像对称性这种特殊的对偶性，在IR极限下，两个理论对应同一个共形场论，并且global symmetry和moduli space直接互相也对应。

在3d Mirror Symmetry下
- Coulomb branch $\leftrightarrow$ Higgs branch
- $U(1)_{Top}$ $\leftrightarrow$ $U(1)_{flavor}$
- real mass parameters $\leftrightarrow$ Fayet-Iliopoulos parameters

由于3d Mirror symmetry通常在强耦合IR极限，此时难以进行微扰展开，反而应该找一些不依赖耦合常数的物理量。比如moduli space或者超对称观测量期望值。

这篇文章研究了一类3d N=4理论的镜像，同时研究了ADHM（即文章的N=8 SYM的镜像理论）和ABJM的对偶关系。

# 1 回顾

简单回顾一下3d $\mathcal{N}=4$语言，这其实就是4d $\mathcal{N}=2$语言，即两个3d $\mathcal{N=2}$ (4d $\mathcal{N}=1$)语言的拼接。此时R对称性为
$$
Spin(4)_R \simeq SU(2)_H\times SU(2)_C
$$
对$\mathcal{N}=4$的vector，是一个$\mathcal{N}=2$ vector和一个$\mathcal{N}=2$ adj chiral的拼接
$$
V = (A_{\mu},\sigma,\lambda,D)\quad \Phi = (\varphi,\psi_{\Phi},F_{\Phi})
$$
这里三个实标量$\sigma,Re\varphi,Im\varphi$构成一个$SU(2)_C$ triplet。对$\mathcal{N}=4$的hyper，是两个$\mathcal{N}=2$ chiral互为共轭表示
$$
Q = (q,\psi_Q,F_Q)\quad \tilde{Q} = (\tilde{q},\tilde{\psi},F_{\tilde{Q}})
$$
因此此时有四个实标量，构成$SU(2)_H$（复）双重态。为了满足$\mathcal{N}=4$ 的条件，此时superpotential为$W\sim Q\Phi \tilde{Q}$。

同时我们可以做real mass deformation，即此时加入一个背景vector multiplet（$V\to V+ V_m,\quad \Phi\to \Phi+\Phi_m$）并改变superpotential
$$
W\sim Q(\Phi+\Phi_m)\tilde{Q}
$$
因此此时$\mathcal{N}=4$质量参数其实是一个3分量$SU(2)$ triplet。另一个是FI deformation，即加入
$$
\mathcal{L}_{FI} = \xi D
$$
在$\mathcal{N=4}$理论中，FI参数也是一个3分量$SU(2)$ triplet。

在3d $\mathcal{N}=8$ SYM里（即一个$\mathcal{N}=8$ vector），有一个$\mathcal{N}=4$ vector和一个$\mathcal{N}=4$ adjoint hypermultiplet，这意味着此时有7个实adjoint scalar。在其镜像ADHM中，有一个$\mathcal{N}=4$ vector在$U(k)$ gauge group，一个$\mathcal{N}=4$ adjoint hyper和r个fundamental hyper。在本文中取了$k=N,r=1$。

简要说明此时localization后得到的矩阵模型，此时localization configuration有所有matter field均为0，对vector multiplet仅有$\sigma = -D = \sigma_0$非0 （在$S^3$为常数），此外其他所有场也均为0，可以利用规范变换来认为$\sigma_0$就是Cartan algebra。
- 此时FI参数给出$\exp(2\pi i\eta \mathrm{Tr}\sigma_0)$项
- $\mathcal{N}=4$ vector给出$\prod_{\alpha}\left(\frac{\sinh(\pi \alpha(\sigma_0))}{\pi \alpha(\sigma_0)}\right)^2$ 
- $\mathcal{N}=4$ hyper给出$\prod_\rho\frac{1}{\cosh(\pi\rho(\sigma_0+\omega))}$
- 由于gauge fixing条件给出$\prod_\alpha \alpha(\sigma_0)^2$，这和$\mathcal{N}=4$的分母恰好消除。
- 这些均可以通过一个$\mathcal{N}=2$ chiral可以通过$\exp(\ell(1-r+i\rho(\sigma)+m))$ 来理解


# 2 Abelian 和 Nonabelian Mirror Pairs

## Abelian mirror pair

Abelian mirror symmetry最简单的例子是
$$
U(1)+hyper+FI\leftrightarrow free\ hyper
$$
这个证明依赖直接计算配分函数
$$
\int_{-\infty}^{\infty}d\sigma\frac{e^{2\pi i\eta \sigma}}{\cosh(\pi\sigma)} = \frac{1}{\cosh(\pi\eta)}
$$
显然这就是一个Fourier变换。这给我们一个非常深刻的原理：对Abelian mirror symmetry来说，进行gauging相当于在进行fourier变换。

我们可以推广到更一般的Abelian mirror pair，比如$U(1)^n$ 的$A_{n-1}$理论，此时任意两个相邻节点之间有bifund，即一个环形quiver。由于无charged matter，此时其实是$U(1)^n/U(1)_{diag}$。作者断言另一侧是一个$U(1)$规范群加$n$个有1电荷的hypermultiplet。

$$
\int d\sigma \frac{e^{2\pi i\eta \sigma}}{\cosh(\pi(\sigma+\omega_i))} =  \int d\sigma\,d^n\tau\, \frac{ e^{2\pi i\sigma(\eta+\sum_i\tau_i)} e^{2\pi i\sum_i\omega_i\tau_i} } {\prod_i\cosh(\pi\tau_i)}
$$
$$
=\int d^n\tau\, \delta\!\left(\eta+\sum_i\tau_i\right) \prod_i \frac{e^{2\pi i\omega_i\tau_i}} {\cosh(\pi\tau_i)}
$$
重定义$\tau_i = \tau_i^{\prime}-\frac{\eta}{n}$，代入得 （以下$\tau_i$均指$\tau_i^{\prime}$）
$$
= e^{-\frac{2\pi i\eta}{n}\sum_i\omega_i} \int d^n\tau\, \delta\!\left(\sum_i\tau_i\right) \prod_i \frac{e^{2\pi i\omega_i\tau_i}} {\cosh\left(\pi(\tau_i-\eta/n)\right)}
$$
再定义$\sigma_n = \sum_{i=1}^n\tau_i$，则
$$
= e^{-\frac{2\pi i\eta}{n}\sum_i\omega_i} \int d^n\sigma\, \delta(\sigma_n) \frac{ e^{-2\pi i\sum_i\sigma_i(\omega_{i+1}-\omega_i)} } {\prod_i \cosh\left( \pi\left(\sigma_{i+1}-\sigma_i-\frac{\eta}{n}\right) \right)}
$$
这显然就是$A_{n-1}$的结构，因为$\delta(\sigma_n)$约束了$U(1)_{diag}$，每个bifund的质量是$-\frac{\eta}{n}$，每个$\eta_i$是$\omega_{i+1}-\omega_i$。注意到有一个不改变结构的整体因子，这一般称为background contact term，因此我们不能说两个对偶理论的自由能是完全相同的，只是他们的动力学可以在变量对应下等价。

## Nonabelian mirror pair

最核心的nonabelian技术是Cauchy Determinant Identity

$$
\frac{ \prod_{i<j}\sinh(x_i-x_j)\sinh(y_i-y_j) }{ \prod_{i,j}\cosh(x_i-y_j) } = \sum_{\rho\in S_N} (-1)^\rho \prod_{i=1}^N \frac{1}{ \cosh(x_i-y_{\rho(i)}) }
$$
之所以叫行列式Identity因为右侧可以写成行列式形式
$$
\sum_{\rho\in S_N} (-1)^\rho \prod_i \frac{1}{\cosh(x_i-y_{\rho(i)})} = \det_{i,j} \left( \frac{1}{\cosh(x_i-y_j)} \right)
$$
我们称一个$U(N)$节点的fundamental hyper为D5 contribution $\prod_{i=1}^N\frac{1}{\cosh(\pi \sigma_{\alpha}^i)}$，如果我们组合起来两个vector的一半和一个bifund，则称为一个NS5 contribution
$$
\frac{1}{N!} \frac{ \displaystyle \prod_{i<j} \sinh\pi(\sigma_\alpha^i-\sigma_\alpha^j) \sinh\pi(\sigma_{\alpha+1}^i-\sigma_{\alpha+1}^j) }{ \displaystyle \prod_{i,j} \cosh\pi(\sigma_\alpha^i-\sigma_{\alpha+1}^j) } =  \frac{1}{N!} \sum_{\rho\in S_N} (-1)^\rho \prod_i \frac{1}{ \cosh\left( \pi(\sigma_\alpha^i-\sigma_{\alpha+1}^{\rho(i)}) \right) }
$$
可以写成积分形式
$$
 = \frac1{N!} \sum_{\rho}(-1)^\rho \int d^N\tau_\alpha \prod_i \frac{ e^{2\pi i\tau_\alpha^i (\sigma_\alpha^i-\sigma_{\alpha+1}^{\rho(i)})} }{ \cosh(\pi\tau_\alpha^i) }
$$
对D5 contribution，也可以写成积分形式为
$$
= \int d^N\widehat\sigma\,d^N\tau\, \prod_i \frac{ e^{2\pi i\tau^i(\widehat\sigma^i-\sigma^i)} }{ \cosh(\pi\widehat\sigma^i) } 
$$
也可以进行反对称化写成类似NS5一样的形式。这样，对一个一般的5膜序列$(\alpha_1,\dots,\alpha_n),\quad \alpha_a\in\{D5,NS5\}$，配分函数为（$I$的意思就是对D5为$\cosh(\pi\sigma)$对NS5为$\cosh(\pi\tau)$）
$$
Z= \prod_{a=1}^n \left[ \frac1{N!} \int d^N\sigma_a\,d^N\tau_a \sum_{\rho_a}(-1)^{\rho_a} \prod_i \frac{ e^{2\pi i\tau_a^i (\sigma_a^i-\sigma_{a+1}^{\rho_a(i)})} }{ I_{\alpha_a}(\sigma_a^i,\tau_a^i) } \right]
$$
这个配分函数的一个对称性是可以做$\tau_a\to-\tau_{a+1}$然后进行$\sigma_a\leftrightarrow -\tau_a$这样不改变积分测度但交换了全部D5膜和NS5膜。


然而我们以上考虑的均为不加参数情况下的NS5和D5贡献，如果加上FI与real mass deformation，则此时D5和NS5的配分函数分别为
$$
Z_{D5,a} = \int d^N\sigma_a\,d^N\tau_a \prod_i \frac{ e^{2\pi i\tau_a^i (\sigma_a^i-\sigma_{a+1}^i)} e^{2\pi i\eta_a\sigma_{a+1}^i} }{ \cosh\left(\pi(\sigma_a^i+\omega_a)\right) }
$$
$$
Z_{\mathrm{NS5},a} = \frac1{N!} \int d^N\sigma_a\,d^N\tau_a \sum_{\rho_a}(-1)^{\rho_a} \prod_i \frac{ e^{2\pi i\tau_a^i (\sigma_a^i-\sigma_{a+1}^{\rho_a(i)})} e^{2\pi i\omega_a\tau_a^i} }{ \cosh\left(\pi(\tau_a^i+\eta_a)\right) }
$$

可以对NS5积分出来所有$\tau_a$
$$
 Z_{\mathrm{NS5}} = e^{-2\pi i\eta_a\omega_a} \frac1{N!} \int d^N\sigma_a \sum_{\rho_a}(-1)^{\rho_a} \prod_i \frac{ e^{-2\pi i\eta_a (\sigma_a^i-\sigma_{a+1}^{\rho_a(i)})} }{ \cosh\left( \pi(\sigma_a^i-\sigma_{a+1}^{\rho_a(i)}+\omega_a) \right) }
$$
再利用Cauchy Identity，可以得到对应的FI和real mass映射。


# 3 ABJM与3d $\mathcal{N}=8$ SYM

## ADHM理论
ABJM无需更多介绍，就是一个有4个$\mathcal{N}=2$ chiral的$U(N)_{k}\times U(N)_{-k}$理论，同时有超势
$$
W \propto \frac{2\pi}{k}\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\mathrm{Tr}(A_aB_{\dot{a}}A_bB_{\dot{b}})
$$
在$k=1$时，ABJM描述平直空间的N个M2膜，因此人们猜想
$$
ABJM_{k=1} \simeq (\mathcal{N}=8\ SYM)_{IR}
$$
但是由于$\mathcal{N}=8$ SYM无法直接通过localized后的矩阵模型描述，因此人们使用的是其镜像模型$U(N)$ vector+adj hyper+ fund hyper。此时localization得到
$$
 Z_{\mathrm{SYM}}(\eta,\omega) = \frac1{N!} \int d^N\sigma\, \frac{ \displaystyle \prod_{i<j}\sinh^2\left(\pi(\sigma_i-\sigma_j)\right) e^{2\pi i\eta\sum_i\sigma_i} }{ \displaystyle \prod_{i,j} \cosh\left(\pi(\sigma_i-\sigma_j+\omega)\right) \prod_i\cosh(\pi\sigma_i) }
$$
令$x_i = \pi \sigma_i$，$y_i = \pi(\sigma_j-\omega)$，则此时利用Cauchy Identity得到
$$
Z_{\mathrm{SYM}}(\eta,\omega) = \frac1{N!} \sum_{\rho}(-1)^\rho \int d^N\sigma\, \frac{ e^{2\pi i\eta\sum_i\sigma_i} }{ \displaystyle \prod_i \cosh(\pi\sigma_i) \cosh\left( \pi(\sigma_i-\sigma_{\rho(i)}+\omega) \right) }
$$
利用Fourier变换得到
$$
\frac1{ \cosh\left( \pi(\sigma_i-\sigma_{\rho(i)}+\omega) \right) } = \int d\tau_i\, \frac{ e^{2\pi i\tau_i (\sigma_i-\sigma_{\rho(i)}+\omega)} }{ \cosh(\pi\tau_i) }
$$
代入后可以发现，同时对$\sigma,\tau$和$\omega,\eta$做交换不改变配分函数，这是ADHM理论的self mirror性质
$$
Z_{ADHM}(\eta,\omega) = Z_{ADHM}(\omega,\eta)
$$
## Stringy origin of ADHM

按照Hanany Witten construction，此时D3占据0,1,2,6维，NS5占据0,1,2,3,4,5维，D5占据0,1,2,7,8,9维。并且要求$x^3$是周期化的$x^3 \sim x^3 + 2\pi$。

这时的FI参数被描述为
$$
(x^3,x^7)\sim (x^3+2\pi n,x^7+n\eta)
$$



## ABJM理论
ABJM矩阵模型为
$$
Z_{\mathrm{ABJM}} = \frac1{(N!)^2} \int d^N\sigma\,d^N\widetilde\sigma\frac{ \displaystyle \prod_{i<j} \sinh^2\pi(\sigma_i-\sigma_j) \sinh^2\pi(\widetilde\sigma_i-\widetilde\sigma_j) }{ \displaystyle \prod_{i,j} \cosh\pi(\sigma_i-\widetilde\sigma_j+\xi) \cosh\pi(\sigma_i-\widetilde\sigma_j-\xi) }\exp\left[ 2\pi i\zeta\sum_i(\sigma_i+\widetilde\sigma_i) + \pi i\sum_i(\sigma_i^2-\widetilde\sigma_i^2)\right]
$$
其中$e^{\pi i\sum_i(\sigma_i^2-\widetilde\sigma_i^2)}$  是两个Chern-Simons level，分母的两个$\cosh$来自4个chiral的质量平移产生$\pm \xi$，两个diagonal方向的FI给出$e^{2\pi i\zeta\sum_i(\sigma_i+\widetilde\sigma_i)}$ 。

依旧对两个分母使用Cauchy Identity然后再用Fourier变换得到
$$
 Z_{\mathrm{ABJM}} = \frac1{N!} \sum_\rho(-1)^\rho \int d^N\tau\,d^N\tau'  \frac{ \exp\left[ -2\pi i\sum_i \tau_i (\tau_i'-\tau_{\rho(i)}'-\xi+2\zeta) -2\pi i(\xi+2\zeta)\sum_i\tau_i' \right] }{ \prod_i\cosh(\pi\tau_i) \cosh(\pi\tau_i') }
$$
积分掉其中的$\tau_i$得到
$$
Z_{\mathrm{ABJM}} = \frac1{N!} \sum_\rho(-1)^\rho \int d^N\tau'\, \frac{ e^{-2\pi i(\xi+2\zeta)\sum_i\tau_i'} }{ \displaystyle \prod_i\cosh(\pi\tau_i') \cosh\pi( \tau_i'-\tau_{\rho(i)}'-\xi+2\zeta) }
$$
令此时$\tau^{\prime}$为$\tau$，再做$\tau\to -\tau$，则只要进行
$$
\eta = \xi + 2\zeta \quad \omega = \xi - 2\zeta
$$
就可以得到
$$
Z_{ABJM}^{k=1}(\xi,\zeta) = Z_{SYM}(\eta,\omega)
$$