Fortuity态由于无法像通常的（或monotone的）BPS态一样被推广到任意大的N，因而被认为是holographic CFT中对应于BPS BH的态，在holographic CFT研究Fortuity态是极其有价值的。同时，由于Q exact态会导致0范数，因此研究BPS态其实就是研究Q cochain的cohomology。本文从两个角度研究ABJM的Fortuity态，其一是逐级枚举并且比较完整BPS谱和multigraviton谱，其二是借鉴N=4 SYM的方法。

# Preparation

严格来说，Monotone态和Fortuity态的定义分别为$\tilde{Q}\tilde{\psi} = 0$和$\tilde{Q}\tilde{\psi} \in I_N$。对于$\tilde{\mathcal{H}}$，则是所有multi trace构成的空间。

ABJM action
$$
S=\frac{k}{2\pi}\int d^3x\, \operatorname{Tr}\left( \mathcal L_{\rm kin} +\mathcal L_{\rm CS} +\mathcal L_{\rm pot} \right)
$$
$$
\mathcal L_{\rm kin} = D_\mu\bar\phi_A D^\mu\phi^A -i\bar\psi_A\gamma^\mu D_\mu\psi^A
$$
$$
\mathcal L_{\rm CS} = \epsilon^{\mu\nu\rho} \left[ \frac12 A_\mu\partial_\nu A_\rho +\frac13 A_\mu A_\nu A_\rho -\left(A\leftrightarrow\bar A\right) \right]
$$
$$
\mathcal L_{\rm pot} = i\varepsilon_{ABCD}\, \phi^A\bar\psi^B\phi^C\bar\psi^D -i\varepsilon^{ABCD}\, \bar\phi_A\psi_B\bar\phi_C\psi_D+\bar\phi_A\phi^A\bar\psi_B\psi^B -\phi^A\bar\phi_A\psi_B\bar\psi^B+2\bar\phi_A\psi_B\bar\psi^A\phi^B -2\phi^A\bar\psi^B\psi_A\bar\phi_B -\frac13(\phi^A\bar\phi_A)^3 -\frac13(\bar\phi_A\phi^A)^3 -\frac43\phi^A\bar\phi_C\phi^B\bar\phi_A\phi^C\bar\phi_B +2\phi^A\bar\phi_A\phi^B\bar\phi_C\phi^C\bar\phi_B
$$

具体到ABJM的情况，此时超对称代数为
$$
\{Q_\alpha^r,Q_\beta^s\} = 2\delta^{rs}P_{\alpha\beta}
$$
$$
\{Q_{\alpha r},S_s^{\beta}\} = 2i[\delta_{rs}(\delta_{\alpha}^{\beta}D+M_{\alpha}^{\beta})-i\delta_{\alpha}^{\beta}R_{rs}]
$$
由于此时超荷处在$so(6)_R$的实表示，而我们由无法直接取某个分量来获得$Q^2 = 0$，一个自然想法是进行复组合
$$
Q = Q_1^{-}+iQ_2^{-}\quad Q^{\dagger} = S_1^{-}-iS_2^{-}
$$
此时BPS条件为
$$
\{Q,Q^\dagger\} = 4E-4J-2(2R_1+R_2+R_3)
$$
$Q$对不同letter的作用为
$$
[Q,\phi_a] = [Q,\bar{\phi}_a] = 0
$$
$$
\{Q,\psi^a\} = \epsilon^{bc}\phi_b\bar{\phi}^a\phi_c\quad \{Q,\bar{\psi}^a\} = \epsilon^{bc}\bar{\phi}_b\phi^a\bar{\phi}_c
$$
$$
[Q,A\bar{A}] = \epsilon_{ab}\psi^a\bar{\phi}^b+\epsilon^{ab}\phi_b\bar{\psi}_a\quad [Q,\bar{A}A] = \epsilon_{ab}\bar{\phi}^b\psi^a+\epsilon^{ab}\bar{\psi}_a\phi_b
$$
在这样选取超荷时，共形代数保留一个centralizer $osp(4|2)\oplus u(1|1)$ 与$Q$对易，这个centralizer可以分类标记BPS态。关于BPS态的一个subtle的点是，超荷对场的作用会受到量子修正，而耦合常数是$1/k$阶的，因此在$k\to \infty$的自由情况下的BPS态不一定在量子情况仍然是BPS的。

# Calculation


![[Pasted image 20260911220317.png]]

假设$Q$会把$q$ sector映射到$q+q_0$ sector。
对确定的$q$，文章定义$V_q$为所有允许的multitrace；$W_q$为Q close single trace构成的multitrace；$QV_{q-q_0}$为Q exact算符。因此
$$
\dim H^*_Q(\mathcal{H}) = \dim \ker Q - \dim \mathrm{Im} Q= \dim V_q - \dim(QV_q) - \dim (QV_{q-q_0})
$$
而multi graviton为
$$
\dim\operatorname{span}(W_q\cup QV_{q-q_0}) -\dim(QV_{q-q_0})
$$
比较二者就可以给出fortuitous候选态
$$
\dim H_Q^*(H_N) - \dim H_Q^*(H_N^{\rm grav})
$$
为了得到这些fortuitous态具体的形式，作者进一步计算了BPS partition function
$$
Z(x,y) =\mathrm{Tr}_{BPS}x^{E+J}y_1^{H_1}y_2^{H_2}y_3^{H_3} 
$$
同时定义
$$
\chi(x,y_2,y_3) = \frac{ \prod_{\pm} (1+xy_2^{\pm1})(1+xy_3^{\pm1}) }{ 1-x^2 }
$$
这个的主要作用是可以通过
$$
\frac{Z-Z^{grav}}{\chi}
$$
来看到具体结构。


总结一下：
首先对一个rank $N$确定一个$(E,J,H_1,H_2,H_3)$  的sector，利用$\phi_a,\bar{\phi}_a,\psi_a,\bar{\psi}_a,D$ 这9个基本letter构造出全部可能的single trace和multi trace，对全部可能的multi trace进行$Q$ action来得到$QV_q$空间。同时对$(E-\frac{1}{2},J+\frac{1}{2},H_1-1,H_2,H_3)$空间也进行同样的操作得到所有可能的multi trace，对全部可能的multi trace进行$Q$ action来得到$QV_{q-q_0}$空间。这样可以得到对应荷sector的BPS态空间的维度。

对于multi graviton态空间，首先需要找到$W_q\subset V_q$这个空间，此时需要分析哪些multitrace的每个single trace都是Q close的，然后再计算$W_q\cup QV_{q-q_0}$就可以进一步计算multi graviton态空间的维度了。 

上述两个维度之差就是对应sector区间的Fortuity态数目。

一个技术细节是如何数multi trace空间的维度，方法是假设每个bifundamental元素为一个$N\times N$的矩阵，这样（在不考虑D）就有$8N^2$个独立基本变量。对于所有空间，首先把这8N^2及其他用到的D^n(letter)假设出来，然后把multi trace代入这些元素并且展开出来，再对其中每一个单项式假设为一个基底，就可以通过计算rank来知道空间维度了。这个方法看起来就极其暴力并且难以计算。