Brane-fused BH operators

# 1 Introduction
这篇文章研究的是对于4d SYM中如何在Q cohomology中识别带hair的BH microstate，特别是被dual giant graviton包裹的BH microstate。具体的研究对象是$\frac{1}{16}$ BPS算符，并设定$N=3$，因为作者认为$SU(3)$是研究dual giant hair的最小非平凡情形，此时dual giant内部的有效理论为$SU(2)$。作者不仅构造了一批新的BH cohomology对应被dual giant graviton包裹的BH，也给出了他们的bulk gravity interpretation。

对于正常的hair，可以形成一种这样的dressing
$$
\mathcal{O}_{BH}\mathcal{G}
$$
但对于dual giant hair，无法形成这样的dressing，作者提出了一种fusion product来使得这样dual giant graviton包裹的BH microstate存在。作者同时证明了这样的fusion product并不是Q exact的。

这个的主要原因是因为dual giant graviton本质上是一个带一个单位D3 brane charge的D3 brane，因此在跨过这个brane的时候，$F_5$的通量会跳变一个单位，导致内部是一个$SU(N-1)$理论。如果我们直接取$\mathcal{O}_{BH}\mathcal{G}$的话，由于$\mathcal{O}_{BH}$是fortuitous的，此时不再为一个BPS态。

# 2 Black hole cohomologies with dual giant hairs

第二章首先明确了此时的超荷选择$Q = Q^4_{-}$，以及定义了一个level $j$
$$
j = 2(R_1+R_2+R_3)+3(J_1+J_2)
$$
在计算index并给出可能的blackhole cohomologies所处的表示后，作者发现了一个infinite tower，有$j=24+2n$，处在$[n,0]_{SU(3)_R}$表示中（这里之所以是SU(3)，是因为仅有$SU(3)\subset SU(4)$和此时的超荷选择对易）。作者此时做出猜测，他大胆地认为这些blackhole cohomologies是由一个SU(2)的黑洞+1个由n个scalar构成的dual giant hair得到的，这个SU(2)的fortuitous operator即文章的‘core’ blackhole
$$
\mathcal{O}^2_{24} = \epsilon^{pqr}v^m_qv^n_r\mathrm{tr}(\psi_{(m)}\psi_n\psi_{p)})
$$
其中$v^m_n = \mathrm{tr}(\phi^m\psi_n)-\frac{1}{3}\delta^m_n\mathrm{tr}(\phi^p\psi_p)$是一个single trace graviton。作者下一步需要真的构造出来这种“SU(2) core+ dual giant hair”的态，但是由于$\mathcal{O}^2_{24}$本身的fortuitous性质，没法直接写成
$$
\mathcal{O}^2_{24}\times (dual\ giant)
$$
的形式。因此他们用finite N trace relations的relation of relations来制造$SU(3)$的$Q-$close operator，这就是所谓的fusion。虽然无法直接此时就知道这个要找的算符是什么，但是作者已经知道要找的$\mathcal{O}^3_{24+2n}\in [n,0]_{SU(3)_R}$，利用Q action和之前$\mathcal{O}^2_{24}$的分析，知道这个包含$(n+2)\phi+5\psi$，其Q variation包含$(n+4)\phi+4\psi$，这为下面提到的relation提供了限制。

这个过程具体是这样进行的，首先我们有若干single graviton cohomologies $g_I$，此时任意有关这些graviton的多项式不一定仍然是独立的cohomology class，因为有限N下可能存在
$$
R_a(g_I) = Qr_a
$$
对若干个这样的relation，构建一个真正的恒等式
$$
\sum_a f_a(g_I) R_a(g_I) = 0
$$
这是一个relation of relations，或者一个syzygy。现在构造$Q$-close算符为
$$
\mathcal{O} = \sum_a f_a(g_I) r_a
$$
再具体到理论，$\mathcal{N}=4$ SYM的single trace graviton operator已经全部已知，即全部symmetrized scalars及其$PSU(1,2|3)$ descendants，在$SU(3)$中共有$u^{ij}_2,v_{2j}^i,w_2^i,u_3^{ijk},v_{3k}^{ij},w_3^{ij}$这六个。 此时要寻找的relation需要满足的条件也已知：field contents需要是$(n+4)\phi+4\psi$，处在$SU(3)_R$的$[n,0]$表示，同时由这些graviton构造得到（但其实只用了$u_2,u_3,v_2,v_3$，因为那两个$w$含有$f$）。作者发现，在n=1时有3个relation和0个syzygy，n=2时13个relation和1个syzygy，n=3时有39个relation和14个syzygy，n=4时有107个relation和50个syzygy。

但是，此时还不能直接确定这些个Q close candidate都是cohomology，需要将其“限制在$SU(2)\times U(1)$，然后寻找其中形如$(\hat{\phi})^n\mathcal{O}^2_{24}$的项，如果系数非0则不是Q exact（不然后者也是exact，矛盾）。即对伴随表示的矩阵均进行这个分解
$$
\phi_m = \begin{pmatrix}
 \phi^{(2)}_m & 0\\
 0 & 0
\end{pmatrix}
+\hat{\phi}_m \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}

$$
并使得$\hat{\psi}_m,\hat{f}=0$（从Q action得出）。此时发现了两个态
$$
\mathcal{O}^3_{30}\in[3,0],\quad \mathcal{O}^3_{32}\in[4,0]
$$
作者通过将这两个态乘上graviton然后取乘积中完全对称的$[n,0]$ representation，证明了对每个$n\ge 3$ 都至少存在一个非平凡cohomology，但无法证明唯一性，虽然他猜测这是唯一的。 

作者进一步研究$w_2,w_3$在这些新的黑洞态上的dressing。其中$w_2\mathcal{O}_n$可以分解到$w_2\mathcal{O}^2_{24}+Q-\mathrm{exact}$态上，因此此时是非平凡的，对更一般的$w_2^k\mathcal{O}_n$也可以分解到$(w_2)^k\mathcal{O}^2_{24}$。对于$w_3$dressing，也是非平凡的，但暂无法证明和$w_2$dressing不独立。


# 3 moreover
作者在最后提出了两个open question。
1.目前距离直接识别fusion还有距离，尽管可以用$SU(N-1)\times U(1)$的方法，但最好找到一个covariant的并且基于representation理论的更直接的方法。
2.找到真正的core blackhole operator。作者进一步设想了两种方法，其一是反复使用relation of relations，每一步都将之前所有的cohomologies考虑relation然后得到下一些
$$
C_0\to C_1 \to C_2 \to\cdots
$$
其二是使用restricted Schur polynomial basis，这可以简化finite N trace relations的枚举。