这篇文章关注的是ABJM的一个”Entropy puzzle“，具体来说就是：ABJM理论在Chern-Simons level k减小的时候，理论上monopole应该在更低的charge sector就出现，意味着可能的态越来越多，但黑洞熵的依赖是$S\sim \sqrt{k}N^{3/2}$，这反而预示着熵更小。

ABJM里面存在monopole operators，相当于在一个点指定gauge field的磁通量
$$
m = (m_1,\cdots,m_N),\quad \tilde{m}=(\tilde{m}_1,\cdots,\tilde{m}_N)
$$
因为Chern–Simons coupling 的存在，磁通量会同时诱导 electric charge （对磁通量$\int F = 2\pi m$, Gauss定律为$Q_{elec} = - \frac{k}{2\pi}\int F = -km$）。对于一个裸monopole $T^{(m,\tilde{m})}$，其规范群表示有最高权$(-km,k\tilde{m})$，因此最简单的$m=\tilde{m}=(1,0,\cdots,0)$通量的产生的BPS dressed monopole有$k$个标量场，其量子数满足
$$
\Delta=R=\frac{k}{2}
$$
这说明$k$变小的时候应在$\Delta$较小的时候就看到monopole贡献。但这与自由能反而不同。同时，在$\tilde{m}=m$的时候对monopole的gauge和flavor charge的量子修正会消失，因此作者主要考虑这个情形。

作者认为Fortuity导致了这个puzzle。如果k变小的时候会产生更多monotone而减少更多独立的fortuitous，就很有可能导致黑洞熵变小。

# 1 Index和twisted superpotential

作者具体计算的是index
$$
I(x,v_1,v_2,t) = \mathrm{Tr}(-1)^F x^{D+J}v_1^{J_1}v_2^{J_2}t^T
$$
通过localization可以变成很好算的形式
$$
I = \frac{1}{(N!)^2}\sum_{m,\tilde{m}}\oint[du][d\tilde{u}]Z_{CS}Z_{vec}Z_{chiral}
$$
作者计算unrefined index，即$v_1=v_2=t=1$，$x=z^2$
$$
I_{N,k}(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(N,k)z^n
$$
研究这个$a_n$的增长趋势，$|a_n|\sim e^{S(n)}$可以视作这个index探测到的有效熵。作者经过研究发现（这个来自把上面index的公式进行一个Cauchy积分分析）
$$
a_n \sim e^{\sqrt{|w(k)|n}}\cos(\phi_n(k))n^{C(k)}
$$
这说明研究$S(n,k)$可以相当于研究$w(k)$。作者发现在$N=1$的时候，$w(k)=4K$，其中$K=\beta(2)$，在$N=2$时$w(k)$随k增大而增大。

直接计算这个$w(k)$的渐进行为很难，因此作者引入了Cardy limit方法，即$z=e^{i\epsilon}\to 1$，此时
$$
\log I\sim -\frac{w(k)}{2\epsilon}
$$
其中$w(k)$可以用twisted superpotential确定 $w(k)=\mathrm{Im} \mathcal{W}(k,u^*(k),\tilde{u}^*(k))$ 
$$
\mathcal W ={} \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{k}{2} (\widetilde u_i^2-u_i^2) +2\pi i(\widetilde u_i-u_i) \right]+ \sum_{i,j=1}^{N} \sum_{a=1}^{2} \left[ \operatorname{Li}_2 \left(ie^{i(\widetilde u_j-u_i)}\right) - \operatorname{Li}_2 \left(-ie^{i(\widetilde u_j-u_i)}\right) \right]
$$
因此现在只需要计算Bethe vacuum equation就可以了。但是Bethe equation不止有一个解，作者利用之前有关Bethe vacua的数值结果，选择了一条在$N\gg k$时可以平滑连接到黑洞saddle的解分支（这里的意思是，解Bethe vacua，选一个解分支在$N\gg k$下有下面的行为，然后看他在$k\gg N$下的行为）。此时对于$N\gg k$的时候，
$$
w(k) = \frac{\pi^2}{3\sqrt{2}}k^{1/2}N^{3/2}
$$
代入得到
$$
S(n)\sim \left( \frac{\pi^2}{3\sqrt{2}}k^{1/2}N^{3/2} n\right)^{1/2}
$$
对BH scaling regime $n\sim k^{1/2}N^{3/2}$正好得到正确的黑洞熵行为。而在$N$固定，$k\to \infty$的情况下，作者拟合得到了精确的$w(k)$公式：
$$
w(k) = 4KN^2 - \frac{2\pi^2 N^2(N^2-1)}{3k^2} + O(k^{-4})
$$
这对应的index entropy是$S(n)\sim 2N\sqrt{Kn}$。

# 2 Fortuity

对$k\to \infty, N=2$，此时single graviton operators的玻色部分由$\mathrm{Tr}(A_iB_j)$和$\mathrm{Tr}(A_iB_pA_jB_q)$构成，这时取这些single graviton的乘积并施加finite N matrix trace identities，就可以加上限制，由此可以构造monotone sector的index并与完整的ABJM index进行比较。此时可以得到$(\mathbf{2},\mathbf{2})$ 的fortuitous operator $\mathcal{O}_f$。

进一步，在$k=2$的时候，此时需要显式考虑monopole operator，但是此时SUSY加强为$\mathcal{N}=8$，选定$Q$之后有一个与之对易的$SU(4)_R$对称性，此时把场组织为
$$
Y = (A_1,A_2,B_1,B_2)\quad \Psi = (-\psi^A_2,\psi^A_1,-\psi^B_2,\psi^B_1)
$$
依赖全息谱（即此时通过对$S^7$的KK multiplets施加$\mathbb{Z}_2$ projection），此时知道最低阶有$\bf 10$ ，这通过
$$
(YY) = \{T^{-1}AA,AB,T^{+1}BB\}
$$
构造出来。进一步利用了Hilbert series的交叉验证，给出此时的monotone index。

在$k=1$的时候，某些只包含一个$A$或$B$的算符可以通过monopole dressing变为gauge invariant，原本需要多个 bifundamental fields 才能构成的 gauge-invariant operator，现在可能是更基本的 gauge-invariant operators 的乘积。此时index是
$$
I(x) = I_{reduced}(x)\times I_{free}(x)
$$
同时，此时的single graviton cohomology由一个$S_2$ graviton multiplet生成
$$
(YY),(\Psi Y)_{traceless},(\Psi\Psi+YDY),(\Psi DY-YD\Psi)
$$
在检查后发现此时$x^3$阶本来的fortuitous态变为monotone的。

以上两个例子构成了作者对entropy puzzle的解释：monopole的出现能减少独立的fortuitous states数目，这其实是两种作用互相竞争的结果：一是k减少时出现更多gauge invariant operator，二是k减少时出现更多operator relations。作者猜测在large charge下，后者占据主导地位，这也使得此时总entropy下降。