Bootstrapping ABJM theory

# 1 Introduction

文章的核心目标是利用ABJM的localization的matrix model，使用bootstraping而非拓扑弦对偶或者数值拟合，解析地计算出自由能与BPS Wilson loop的Nonperturbative Instanton corrections。ABJM 的非微扰信息原则上已经包含在 supersymmetric localization 得到的精确矩阵积分中，但我们没有一般的方法直接解析计算它。

其中自由能是$F(N,k)=-\log Z(N,k)$ ，在M theory limit时ABJM自由能行为是
$$
F(N,k)\sim \frac{\pi\sqrt{2k}}{3}N^{3/2}
$$
但这只是渐进行为而非完整的大N展开，其中其他微扰部分是被$1/\sqrt{N}$所压低的，完整的微扰部分可以写成的一个Airy function
$$
Z_{\mathrm{pert}}(N,k) = e^{A(k)}C(k)^{-1/3} \operatorname{Ai}\left( \frac{N-B(k)}{C(k)^{1/3}} \right)
$$
而非微扰贡献一般有这样的结构
$$
\exp\left[-2\pi\sqrt N\,h_{m,\ell}(k)\right]
$$
其中
$$
h_{m,\ell}(k) = m\sqrt{\frac2k} + \ell\sqrt{\frac k2}, \qquad m,\ell\in\mathbb Z_{\geq0}
$$
当$l=0,m\ge1$的时候称为worldsheet Instanton corrections，当$m=0,l\ge1$时称为membrane Instanton corrections，二者都不为0的时候对应两类Instanton的bound states。分别对应Type II frame下的基本弦包裹$\mathbb{P}^1$，D2膜包裹$\mathbb{RP}^3$。而在M theory frame下二者都可以视作M2膜包裹3 cycle。


对ABJM，此时可以使用的还有Fermi gas approach，可以把 ABJM partition function 重写为一个一维自由费米气体的配分函数，或者使用grand potential这个更方便的量，这是因为我们可以看出下面的这个积分的鞍点（经典贡献）说明large $\mu$和large N其实是一样的。
$$
Z(N,k) = \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{d\mu}{2\pi i} e^{J(\mu,k)-N\mu}
$$
此时一般的完整grand potential为
$$
J(\mu,k) = J_{\mathrm{pert}}(\mu,k) + \sum_{m+\ell\geq1} f_{m,\ell}(\mu,k) e^{-(4m/k+2\ell)\mu}
$$
作者同时还研究了$1/2$和$1/6$ BPS 的Wilson loop，分别记为$W^{1/6}_n$和$W^{1/2}_n$，这二者可以通过$W_n^{1/2} = W_n^{1/6} - (-1)^n\overline{W_n^{1/6}}$关联，因此只需要算后者，后者可以做展开
$$
W_n(N,k) = \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{d\mu}{2\pi i}\, \mathcal W_n^{1/6}(\mu,k) e^{J(\mu,k)-N\mu}
$$
有
$$
\mathcal W_n^{1/6}(\mu,k) = \frac{i^n e^{2n\mu/k}} {k\sin(2\pi n/k)} \left[ w_0(\mu)+ \sum_{m+\ell\geq1} w_{m,\ell}(\mu) e^{-(4m/k+2\ell)\mu} \right]
$$
注意这个$w_{m,l}$和之前的$f_{m,l}$不是同一个函数。

作者提出的Bootstrap方法主要是要求Fermi gas relation和Instanton ansatz的一致性，可以得到一组有关$f$和$w$的自洽方程。

# 2 ABJM和Fermi gas以及拓扑弦的关系

这个东西我之前已经了解过114514遍了，但为了完整性和可读性（防止之后忘了），这块还是再写一下。

## 2.1 Fermi Gas

ABJM 的 localization 后得到的矩阵模型可以概括为
$$
W_n(N,k) ={}\frac{1}{(N!)^2} \int\prod_{i=1}^{N} \frac{d\mu_i\,d\nu_i}{(2\pi)^2} \times \frac{ \displaystyle \prod_{i<j} \left[2\sinh\frac{\mu_i-\mu_j}{2}\right]^2 \left[2\sinh\frac{\nu_i-\nu_j}{2}\right]^2 }{ \displaystyle \prod_{i,j} \left[2\cosh\frac{\mu_i-\nu_j}{2}\right]^2 }\times \exp\left[ \frac{ik}{4\pi} \sum_i(\mu_i^2-\nu_i^2) \right] \sum_{i=1}^{N}e^{n\mu_i}
$$
由此可以定义
$$
Z(N,k) = \frac{W_0(N,k)}{N}
$$
和
$$
\langle W_n^{1/6}\rangle = \frac{W_n(N,k)}{W_0(N,k)}
$$
上述表达式可以写成Fermi gas形式，即
$$
Z(N,k)= \frac1{N!} \sum_{\sigma\in S_N} (-1)^{\epsilon(\sigma)} \int_{\mathbb R^N} d^Nx\, \prod_{i=1}^N \rho(x_i,x_{\sigma(i)})\qquad 
\rho(x,y)= \frac{1}{ 8\pi k \cosh(x/2) \cosh\left(\frac{x-y}{2k}\right) }
$$
此时也定义grand canonical partition function为
$$
\Xi(\mu,k) := 1+\sum_{N\geq1}e^{N\mu}Z(N,k)
$$
## 2.2 grand canonical partition function

原则上有$\Xi(\mu,k)= e^{J(\mu,k)}$，但这面临一个很大的问题，即前者有周期性而后面不应该有（$\Xi(\mu+2\pi i,k)=\Xi(\mu,k)$），作者引入modified grand potential使得
$$
\Xi(\mu,k) = \sum_{r\in\mathbb Z} \exp[J(\mu+2\pi ir,k)]
$$
对于$J$的微扰部分和非微扰部分，在第一节里多少提到了一些，这里再补充一下后者，此时$J_{\mathrm{np}} = J_{\mathrm{WS}}+J_{\mathrm{M2}}+J_{\mathrm{BS}}$ ，可以一般写作
$$
J_{\mathrm{np}}(\mu,k) = \sum_{m+\ell\geq1} f_{m,\ell}(\mu,k) e^{-(4m/k+2\ell)\mu}
$$
对WS，此时是$l=0$的特殊情况，即$d_m(k)=f_{m,0}(k)$，此时甚至没有$\mu$依赖
$$
J_{\mathrm{WS}}(\mu,k) = \sum_{m\geq1} d_m(k)e^{-4m\mu/k}
$$
利用和$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$的拓扑弦的关系，得到
$$
d_m(k)= \sum_{g=0}^{\infty} \sum_{d\mid m} n_d^g \frac{(-1)^m d}{m} \left( 2\sin\frac{2\pi m}{dk} \right)^{2g-2}
$$
对M2，此时是
$$
J_{\mathrm{M2}}(\mu,k) = \sum_{\ell\geq1} f_{0,\ell}(\mu,k)e^{-2\ell\mu}
$$
此时一般有到二次项的非平凡的$\mu$依赖
$$
f_{0,\ell}(\mu,k) = a_\ell(k)\mu^2+ b_\ell(k)\mu+ c_\ell(k)
$$
之前看过的1211.1251利用pole cancellation，可以确定一部分M2有关的系数，但问题是随着阶数增加，单纯要求发散互相抵消，不再足以唯一确定全部结果。

## 2.3 Effective chemical potential

1301.5184提出，可以通过对$\mu$的重定义将所有$J_{BS}$吸收到WS和M2中，此时
$$
\mu_{\mathrm{eff}} = \mu+ \frac1{C(k)} \sum_{\ell=1}^{\infty} a_\ell(k)e^{-2\ell\mu}
$$
其中$C(k)$见第一节，$a_l$见2.2节，此时$J_{M2}\to \tilde{J}_{M2}$
$$
\widetilde J_{\mathrm{M2}} = \sum_{\ell\geq1} \left[ \mu_{\mathrm{eff}}\widetilde b_\ell(k) + \widetilde c_\ell(k) \right]e^{-2\ell\mu_{\mathrm{eff}}}
$$
此时仅剩$a_l,\tilde{b}_l,\tilde{c}_l$三组，但是1301.5184进一步提出后二者可以有非平凡的关系使之互相确定，这意外着我们可以只需要两组独立系数。

## 2.4 Supersymmetric Wilson loops

微扰Wilson loop已经完全已知
$$
W_n^{\mathrm{pert}}(\mu,k) = \frac{\mu}{\pi} - \sum_{j=1}^{n} \cot\left(\frac{2\pi j}{k}\right) - \frac{ik}{4}
$$
对于$W^{1/2}_n$，有
$$
W_n^{1/2}(\mu,k) = -\frac{2i^{n-1}e^{2n\mu/k}} {k\sin(2\pi n/k)} \operatorname{Im} \left[ W_n^{\mathrm{pert}} + W_n^{\mathrm{np}} \right]
$$
对$1/2$ BPS，1306.4297猜测其Wilson loop可以写成
$$
W_n^{1/2}(\mu,k) = -\frac{2i^{n-1}e^{2n\mu_{\mathrm{eff}}/k}} {k\sin(2\pi n/k)} \left[ -\frac{k}{4} + \operatorname{Im} W_n^{\mathrm{WS}}(\mu_{\mathrm{eff}},k) \right]
$$
即通过重定义$\mu$可以吸收其他除了WS之外的其他贡献。而WS贡献可以写为
$$
\operatorname{Im}W_n^{\mathrm{WS}} =\frac{k}{4} -\frac{k}{4}f(Q^n) \sum_{g,d\geq0}\sum_{\ell m=n} N_{\vec m,d}^{g} \times \left(2\sin\frac{2\pi\ell}{k}\right)^{2g-2} \left(2\sin\frac{2\pi n}{k}\right)^2 Q^{d\ell}
$$
其中$Q=-e^{-4\mu/k}$，这也是从拓扑弦得到的。

但对于$1/6$，由于其对实部的依赖，就很难进行直接的计算。

# 3 Tracy-Widom

这一章的目的是利用Fermi-gas density operator所满足的精确函数关系，把ABJM Wilson loop 表示成少数几个辅助函数，并从这些关系中重新导出 effective chemical potential 的 instanton corrections。

## 3.1 Exact Relations
我们把第二章的Fermi gas 方法算符化，定义
$$
\hat{\rho}= \frac1{2\cosh(x/2)} \frac1{2\cosh(p/2)}, \qquad [x,p]=2\pi ik
$$
此时
$$
\Xi(\mu,k)=\det(1+z\rho),\qquad z=e^\mu
$$
$$
\mathcal{W}_n(\mu,k) := \frac{1}{\Xi(\mu,k)} \sum_{N}e^{\mu N}W_n(k,N) = \operatorname{Tr} \left[ \frac{z\hat{\rho}}{1+z\hat{\rho}} e^{n(x+p)/k} \right]
$$
利用算符化的$\rho$，之前的$\rho(x,y)$应该被理解为矩阵元$\rho(x,y)=\langle x |\hat{\rho}| y \rangle$ ，上面第二个式子可以进一步写为
$$
\mathcal W_n = \int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{n(x+i\pi n)/k} \left\langle x\left| \frac{z\rho}{1+z\rho} \right|x+2\pi in\right\rangle
$$
作者进一步引入Tracy–Widom auxiliary function，其中$E(x):=\sqrt{2}e^{\frac{x}{2k}}$
$$
\psi(x|z) = \left\langle E\left| \frac1{1-z\rho} \right|x\right\rangle
$$
由于Tracy–Widom auxiliary function有很强的解析结构，满足
$$
\psi(x+2\pi imk|z)=(-1)^m\psi(x|z)
$$
同时还有所谓的Baxter equation
$$
\psi(x+i\pi k|z)+\psi(x-i\pi k|z) = \frac{z}{2\cosh(x/2)}\psi(x|z)
$$
原来的$\mathcal{W}_n$此时显然可以用Tracy–Widom auxiliary function进行表达，但是其实并不需要完全求解Tracy–Widom auxiliary function，作者发现可以进一步引入两个函数$D$和$\Phi$，
$$
D(\mu)=e^{F(z)} = \frac{\Xi(\mu,k)}{\Xi(\mu+i\pi,k)}
$$
$$
\frac{\psi(i\pi|z)}{\psi(-i\pi|z)} = e^{i\Phi(z)}
$$
此时
$$
\mathcal W_n(\mu,k) = \frac{i^{n-1}}{\sin(2\pi n/k)} \left[ A_n(z) +i z\partial_z\Phi(z)B_n(z) +i z\partial_zF(z)C_n(z) \right]
$$
其中$A,B,C$依赖于$F(z)$和$\Phi(z)$
## 3.2 Quantization conditions

2512.02119推导了ABJM中的“Quantization conditions”（3.15-3.18式），这些条件来自Baxter equation的解所必须满足的Wronskian、shift relations和quasi periodicity。综合这些条件，可以得到一个有关$F(z)$和$\Phi(z)$的functional equation，作者发现此时$F(z)\sim \frac{2}{k}\log z$，因此提出ansatz
$$
D(\mu) = \frac{e^{2\mu/k}}{2\sin\Phi} \sum_{m\geq0} q_m(\Phi)e^{-4m\mu/k}
$$
讲这个代入quantization conditions可以逐阶求出$q_m$，但这样导致了$q_m$值的离散，如
$$
q_1 = 2\delta_{1,k}+2\delta_{2,k}-2\cos(2\Phi)
$$
这来自于WS Instanton和membrane Instanton的重合，在特殊$k$上二者是无法区分的，因此作者改进ansatz为
$$
D(\mu) = \frac{e^{2\mu/k}}{2\sin\Phi} \sum_{m,\ell\geq0} \gamma_{m,\ell}(\Phi) e^{-(4m/k+2\ell)\mu}
$$
此时可以求得$\gamma_{ml}$。

## 3.3，3.4 Chemical potential and Nonperturbative contribution

作者发现对于$\mu_{eff}$中的$a_l(k)$系数，可以直接通过quantization conditions中所引入的$\gamma_{m,l}$得到，而不需要从refined topological string出发计算。
$$
D(\mu) = \frac{e^{2\mu_{\mathrm{eff}}/k}}{2\sin\Phi} \left[ 1+ \sum_{m\geq1} \gamma_{m,0}(\Phi) e^{-4m\mu_{\mathrm{eff}}/k} \right]
$$
$$
\hat{\gamma_{ml}} = \frac{\gamma_{ml}}{\gamma_{m0}} = \sum_{p_1,\cdots,p_l\ge 0}\frac{(-(2m-1)\pi^2a_1)^{p_1}\cdots (-(2m-1)\pi^2a_l)^{p_l}}{p_1!\cdots p_l!}
$$
在3.4节中，作者进一步把 3.1–3.3 节得到的精确 Baxter 关系，与第二章的 grand potential instanton expansion 联系起来，从而把 Wilson loop 表示为 grand potential 的未知系数的函数。其中grand potential的ansatz为
$$
J(\mu,k) = \frac{C(k)}3\mu_{\mathrm{eff}}^3 +B(k)\mu_{\mathrm{eff}}+A(k) + \sum_{m+\ell\geq1} \widetilde f_{m,\ell}(\mu_{\mathrm{eff}}) Q_w^mQ_m^\ell
$$
其中
$$
Q_w=e^{-4\mu_{\mathrm{eff}}/k}, \qquad Q_m=e^{-2\mu_{\mathrm{eff}}}
$$
只需要$\tilde{f}_{m,l}$就可以进一步得到所有$D(\mu)$和$\Phi(\mu)$。




# 4 Bootstrap Approach

这一章开始真正进行bootstrap。第三章已经通过Tracy-Widom和Baxter relation把grand canonical Wilson loop $\mathcal W_n$写成了$D(\mu)$和$\Phi(\mu)$的函数，而这两个量又可以通过grand potential中的未知系数$\widetilde f_{m,\ell}$表达。现在的关键是利用grand canonical和非周期化Wilson loop之间的一致性，反过来确定这些未知系数。

## 4.1 Consistency condition

首先，定义对任意函数$U(\mu)$的grand canonical average

$$
\langle U(\mu)\rangle_{\mathrm{GC}}=\frac{\sum_{r\in\mathbb Z}U(\mu+2\pi ir)e^{J(\mu+2\pi ir,k)}}{\sum_{r\in\mathbb Z}e^{J(\mu+2\pi ir,k)}}
$$

因此有$\mathcal W_n=\langle W_n^{1/6}\rangle_{\mathrm{GC}}$。注意$J$的三次项在$\mu\to\mu+2\pi ir$之后会产生一个快速振荡的phase $\varphi(\mu_{\mathrm{eff}})\sim-2\mu_{\mathrm{eff}}^2/(\pi k)$，所以即使$W_n^{1/6}$本身没有振荡，其grand canonical average也会有振荡。

作者的bootstrap condition就是：反过来求出的非周期化Wilson loop应该具有第二章的instanton expansion，展开系数可以依赖$\mu_{\mathrm{eff}}$，但不能显式依赖这个快速振荡的$\varphi$。于是可以把第三章直接算出的$\mathcal W_n$，与对未知$W_n$做grand canonical average的结果逐阶比较，要求所有phase dependence匹配。

先考虑$n=1$的$1/2$ BPS Wilson loop，利用第三章的$A_1=\sinh F\sin\Phi$，得到

$$
\mathcal W_1^{1/2}=\frac{\sin\Phi}{\sin(2\pi/k)}\left(D-\frac1D\right)
$$

直接展开与反过来做grand canonical average两种方法得到的结果相比较，前几阶给出$w_{10}=-2,w_{20}=3,w_{11}=w_{21}=0$。再往下一阶，由于出现几个相互独立的振荡函数，要求它们的系数分别为0，便同时求出了Wilson loop和grand potential的第一个WS系数

$$
w_{30}=-10,\qquad \widetilde f_{1,0}=\frac1{\sin^2(2\pi/k)}=d_1(k)
$$

这个$d_1(k)$原本是第二章通过topological string得到的，现在直接由matrix model的自洽性得到。高阶的consistency condition还要求$\widetilde f_{m,\ell}=0\ (m,\ell\ge1)$，也就是在$\mu_{\mathrm{eff}}$变量下不再有显式的bound-state项。这里的非振荡要求同时可以限制$\widetilde f$对$\mu_{\mathrm{eff}}$的多项式依赖。

## 4.2 1/2 BPS Wilson loop

将上面的bootstrap推广到更高阶，作者对$n=1$得到

$$
W_1^{1/2}(\mu,k)=\frac{e^{2\mu_{\mathrm{eff}}/k}}{2\sin(2\pi/k)}\left[1-2Q_w+3Q_w^2-10Q_w^3+\left(33+16\cos\frac{4\pi}{k}\right)Q_w^4+\cdots\right]
$$

值得注意的是这个展开只有$Q_w$，没有显式的$Q_m$。原因是grand potential的membrane correction对周期化求和的影响，可以进一步通过phase的重定义吸收

$$
\widetilde\varphi=\varphi-\pi\widetilde J_b(\mu_{\mathrm{eff}}),\qquad \widetilde J_b=\sum_{\ell\ge1}\widetilde b_\ell(k)Q_m^\ell
$$

所以对于任意winding number，$1/2$ BPS Wilson loop可以写成

$$
W_n^{1/2}(\mu,k)=\frac{i^{n-1}e^{2n\mu_{\mathrm{eff}}/k}}{2\sin(2\pi n/k)}\left[1+\sum_{m\ge1}w_m(n,k)Q_w^m\right]
$$

将其代入$\mathcal W_n^{1/2}=\langle W_n^{1/2}\rangle_{\mathrm{GC}}$，就能逐阶确定$w_m$。例如第一个WS correction是

$$
w_1(n,k)=-\delta_{n,1}-\frac{\sin^2(2\pi n/k)}{\sin^2(2\pi/k)}
$$

作者对$n\le6$进行了计算，结果和之前由open topological string、Ooguri-Vafa invariants给出的猜测一致，同时也得到了和$n$无关的grand potential WS系数。这里说的“没有membrane instanton”只是指用$\mu_{\mathrm{eff}}$表示之后没有**显式**的$Q_m$项，并不是说展开回原来的$\mu$之后没有membrane和bound-state contributions。另外，纯membrane的$\widetilde b_\ell,\widetilde c_\ell$在这一步仍不能完全确定。

## 4.3 1/6 BPS Wilson loop

相比之下，$1/6$ BPS Wilson loop还需要计算之前$1/2$ BPS所没有包含的实部。作者先把已知部分减去，定义

$$
\mathcal W_n=\frac12\mathcal W_n^{1/2}+i\widetilde{\mathcal W}_n,\qquad \mathcal W_n^{1/6}=\mathcal W_n
$$

其中

$$
\widetilde{\mathcal W}_n=\frac{i^{n-1}}{\sin(2\pi n/k)}\left[B_n\Phi'+C_n(\log D)'\right]
$$

对非周期化的部分也相应定义$\widetilde W_n$，要求$\widetilde{\mathcal W}_n=\langle\widetilde W_n\rangle_{\mathrm{GC}}$。

这里和$1/2$ BPS的关键区别在于对$\Phi$以及$D$求导时，除了WS contributions，还会留下两个仅依赖$Q_m$的函数

$$
f_m(Q_m)=\frac{\partial\mu_{\mathrm{eff}}}{\partial\mu}=1-\frac2{C(k)}\sum_{\ell\ge1}\ell a_\ell(k)Q_m^\ell \qquad V_m(Q_m)=-\frac\pi4\widetilde J_b'(\mu_{\mathrm{eff}})=\frac\pi2\sum_{\ell\ge1}\ell\widetilde b_\ell(k)Q_m^\ell
$$

其中$f_m$来自chemical potential的重定义，$V_m$来自phase的membrane correction，而且二者都不依赖winding number。利用这些函数，可以把$\widetilde{\mathcal W}_n=\langle\widetilde W_n\rangle_{\mathrm{GC}}$写成master equation

$$
\left\langle e^{2n\mu_{\mathrm{eff}}/k}\sum_{m,\ell\ge0}\widetilde w_{m,\ell}Q_w^mQ_m^\ell\right\rangle_{\mathrm{GC}}=-\frac4k\left(\frac{\mu_{\mathrm{eff}}}{\pi}-kV_m\right)\widetilde B_n+\frac2k\widetilde C_n
$$

其中$\widetilde B_n,\widetilde C_n$由第三章的$B_n,C_n$构造，只显式依赖WS参数$Q_w$和修正phase $\widetilde\varphi$。接下来仍然要求$\widetilde w_{m,\ell}$不能依赖快速振荡的phase，这就成为求解$1/6$ BPS的bootstrap condition。

## 4.4 Solution to the master equation

作者首先验证在$Q_w,Q_m\to0$时，上面的方程确实恢复第二章的perturbative $1/6$ BPS Wilson loop。然后利用master equation对$\mu_{\mathrm{eff}}$的线性依赖，提出

$$
\sum_{m,\ell\ge0}\widetilde w_{m,\ell}Q_w^mQ_m^\ell=\frac{f_w}{k}\left(\frac{\mu_{\mathrm{eff}}}{\pi}-kV_m+Y_w\right)
$$

代入master equation，并利用只依赖$Q_m$的函数可以从grand canonical average中提出来这一性质，发现$f_w,Y_w$都只依赖$Q_w$，不包含显式$Q_m$。因此最终得到

$$
\widetilde W_n(\mu,k)=\frac{i^{n-1}e^{2n\mu_{\mathrm{eff}}/k}}{k\sin(2\pi n/k)}f_m(Q_m)f_w(Q_w)\left[\frac{\mu_{\mathrm{eff}}}{\pi}-kV_m(Q_m)+Y_w(Q_w)\right]
$$

注意这是之前减去$1/2$ BPS部分后定义的$\widetilde W_n$，完整的$1/6$ BPS Wilson loop还要通过$W_n^{1/6}=\frac12W_n^{1/2}+i\widetilde W_n$恢复。这里四个函数中，$f_w,Y_w$包含WS instanton并依赖$n$，$f_m,V_m$包含membrane instanton而与$n$无关，这就说明不同winding numbers共享相同的membrane correction数据。

其中$f_m$已经能由第三章的$a_\ell(k)$直接算出来，例如

$$
f_m=1+4\cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)Q_m+4(4+5\cos\pi k)Q_m^2+O(Q_m^3)
$$

而$V_m$中的$\widetilde b_\ell(k)$仍然是未知的。作者最后使用pole cancellation：由于WS与membrane的指数在$k=2m/\ell$时重合，$Y_w$和$V_m$中在允许的$k>2n$范围内出现的spurious poles必须互相抵消，由此约束$\widetilde b_\ell(k)$并得到$V_m$的前几阶

$$
V_m=\cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)\cot\left(\frac{\pi k}{2}\right)Q_m+\cot(\pi k)(4+5\cos\pi k)Q_m^2+O(Q_m^3)
$$

这些结果与之前refined topological string和数值拟合得到的表达式一致。不过pole cancellation提供的首先是pole附近的约束，确定完整系数还需要使用相应的解析结构，而grand potential的$\widetilde c_\ell(k)$在这篇文章中依然没有求出。

因此第四章的主要结果是，通过grand canonical average和phase independence的bootstrap直接得到了grand potential的WS coefficients，证明$1/2$ BPS Wilson loop在$\mu_{\mathrm{eff}}$下只有显式的WS corrections，而$1/6$ BPS还需要由两个universal functions $f_m,V_m$描述的membrane contributions。这些原本主要来自拓扑弦关系和数值分析的结果，现在可以从ABJM matrix model自身的exact relations和consistency conditions中重新得到。