Finite-N BMN index across all vacuum sectors # 1 Introduction BMN模型是BFSS模型的一个mass deformation，BFSS之所以重要，是因为他是M theory的discrete light cone quantization。BMN模型则将平直背景换成最大超对称的11D plane-wave 背景。BFSS是10D $\mathcal{N}=1$理论约化到$0+1$ D得到的$U(N)$ supersymmetric matrix quantum mechanics，包含九个 Hermitian bosonic matrices $X^I$和16个fermionic matrices $\Psi(t)$。BMN进一步加入mass和myers项，后者使其获得非平凡的 fuzzy-sphere vacua。 BMN相比于BFSS有若干区别，首先是前者不存在flat direction，使得模型有离散的能量，二是BMN有可控的弱耦合极限，此时可以在classical vacua附近展开，三是BMN存在不同的supersymmetric vacua而不只是一个平凡真空，这些不同的真空是由fuzzy sphere描述的。 BMN有9个玻色矩阵$X^I$，其中3个矩阵的期望值可以取为 $$ X^i = \frac{\mu l^3_P}{3R}J^i\quad i=1,2,3 $$ 满足 $$ [J^i,J^j] = i\epsilon^{ijk}J^k $$ 因此这些真空可以由$SU(2)$的任意$N$维表示所确定。这些表示一般有直和 $$ N = \sum_{k=1}^K n_k N_k $$ 这意味着规范群发生破缺$U(N)\to\prod_{k=1}^K U(n_k)$。这些fuzzy sphere真空本身也具有引力侧的解释，比如spherical M2 brane或者Lin-Maldacena Geometry。 2404.18442计算了BMN在不同fuzzy-sphere真空附近的Witten-Index，但单真空的index并不是完整BMN理论的index，由于 BMN 存在许多超对称真空，完整的 index 应当对所有真空求和： $$ I_{BMN} = \sum_{\lambda\vdash N}I_{\lambda}(t) $$ 作者希望理解如果考虑完整的超对称真空的话，之前的行为会被保留、增强还是抵消。 之前的2404.18442已经知道，对于$N=\sum_kn_kN_k$的真空，index具有下面类似的形式 $$ I_{\{n_k,N_k\}} = \int\prod_k[dU_k]\, \exp\left[ \sum_{m=1}^{\infty}\frac1m \sum_{k,l} \iota_{kl}^{(m)} \operatorname{Tr}U_k^{\dagger m} \operatorname{Tr}U_l^m \right] $$ 但这个在有限$N$的时候并不好算，作者找了两种方法来使其可以计算。其一是Symmetric-group character expansion，其二是Residue expansion，这两个方法在Chap3和4。文章完整计算了$N\le 9$的全部真空，其中发现了两个现象，一是各个sector之间存在显著的相消，使得$N^2$行为不一定可以保持（但限于数据，还是无法准确说明），二是对$|d_j|$最大贡献的sector在$N$增大过程中出现切换，命名为dominance switching。 作者由dominance switching出发提出了bulk interpretation，猜测这些 BPS 态对应的可能不是一个单独的 D0 black hole，而是一个 D0 black hole 外面还存在宏观 spherical D2-brane 的复合系统。 # 2 Preliminaries of BMN matrix quantum mechanics 第二章简要回顾BMN量子力学和2404.18442的计算。 ## 2.1 The BMN Hamiltonian BMN的Hamiltonian可以分为两部分$H = H_0+H_{int}$，其中$H_0$对应BFSS量子力学，$H_{int}$包括mass deform项和myers项 $$ H_0=R\operatorname{Tr}\Bigg[ \frac12\sum_{I=1}^{9}(P^I)^2 -\frac{1}{4\ell_P^6} \sum_{I,J=1}^{9}[X^I,X^J]^2 -\frac{1}{2\ell_P^3} \Psi^T\gamma^I[X^I,\Psi] \Bigg] $$ $$ H_{\mathrm{int}} =\frac R2\operatorname{Tr}\Bigg[ \left(\frac{\mu}{3R}\right)^2 \sum_{i=1}^{3}(X^i)^2 +\left(\frac{\mu}{6R}\right)^2 \sum_{m=4}^{9}(X^m)^2+i\frac{\mu}{4R}\Psi^T\gamma^{123}\Psi+i\frac{2\mu}{3R\ell_P^3} \epsilon_{ijk}X^iX^jX^k \Bigg] $$ 后面的相互作用项给其中3个赋予了不一样的质量，同时myers interaction使得fuzzy sphere形成。对于参数，此时$R,\ell_P,\mu^{-1}$均具有长度量纲，通过重定义无量纲变量可以提取无量纲耦合 $$ g^2 = \frac{R^3}{\mu^3\ell_P^6} $$ 显然$\mu\to0$的时候回到BFSS，然后在$\mu\ne0$的时候原来的$SO(9)\to SO(3)\times SO(6)$。$\mu$较大的时候进入弱耦合区域，可以在经典真空附近微扰展开，这说明BMN 存在可控的弱耦合极限，而且保留超对称性。这使得我们有可能通过弱耦合计算得到一般有限耦合下的 Witten index。 ## 2.2 Witten index review BMN具有$SU(2|4)$超对称性，其玻色部分显然是$SO(3)\times SO(6)$，对应的超荷写为$Q^m_{\alpha},(Q^m_{\alpha})^{\dagger}$，其中$\alpha = \pm$，满足如下代数关系 $$ \{Q_\alpha^m,(Q_\beta^n)^\dagger\} =2\delta_n^m\delta_\beta^\alpha H +\frac{\mu}{3}\epsilon_{ijk} (\sigma^k)_\alpha^{\ \beta}\delta_n^m M^{ij}-\frac{2\mu}{3}\delta_\beta^\alpha R_n^m $$ 作者选取了$Q:=Q^4_{-}$，对$\{Q,Q^{\dagger}\} = 2\Delta$可以计算得到 $$ \Delta=H-\frac{\mu}{3}M^{12} -\frac{\mu}{6}(M^{45}+M^{67}+M^{89}) $$ 为了计数这些BPS态，作者引入Thermal partition function $$ Z=\operatorname{Tr}\Omega \qquad \Omega= \exp\left[ -\beta\Delta -2\omega M^{12} -\sum_{i=1}^{3}\Delta_i M^{2i+2,2i+3} \right] $$ 同时要求$\{Q,\Omega\} = 0$（这样$|x\rangle$和$Q|x\rangle$才会index相消），据此得到限制（这主要来自$[M,Q]=\pm \frac{1}{2}Q$对$12$是$-$，但对$45,67,89$是$+$） $$ \sum_{i=1}^{3}\Delta_i-2\omega =2\pi i\pmod{4\pi i} $$ 将这个代入上面的partition function，得到BMN Witten Index为 $$ I^{\mathrm{BMN}} = \operatorname{Tr}\left[ (-1)^F \exp\left( -\beta\Delta -\sum_{i=1}^{3}\Delta_i J_i \right) \right] $$ ## 2.3 Witten index in the weak coupling limit Hamiltonian的玻色势能是 $$ V=\frac R2\operatorname{Tr}\Bigg[ \left( \frac{\mu}{3R}X^i +\frac{i}{\ell_P^3}\epsilon^{ijk}X^jX^k \right)^2+\frac{1}{2\ell_P^2}(i[X^m,X^n])^2+\frac{1}{\ell_P^2}(i[X^m,X^i])^2+\left(\frac{\mu}{6R}\right)^2(X^m)^2 \Bigg] $$ 最后一项要求$X^m = 0$，第一项要求$\frac{\mu}{3R}X^i +\frac{i}{\ell_P^3}\epsilon^{ijk}X^jX^k = 0$，这利用SU(2)代数相当于 $$ X^m=0,\qquad X^i=\frac{\mu\ell_P^3}{3R}J^i $$ 这说明此时真空可以用SU(2)的表示进行分类，即一个fuzzy sphere。 我们可以考虑在这些真空附近的涨落$\delta X$，真空要求$X$此时是block-diagonal的，但涨落可以破坏这些block-diagonal，因此我们需要考虑一般的$(k,l)$ block，作者得到这些$(k,l)$ block的single letter index是 $$ \iota_{kl}^{(m)}(\Delta_i) ={} \sum_{j=\frac12|N_k-N_l|}^{\frac12(N_k+N_l)-1} (-1)^{2jm+1}\quad e^{-jm(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3)} \prod_{a=1}^{3}(1-e^{-m\Delta_a})+\delta_{N_k,N_l} $$ 但这个还不能直接给出物理态，需要先考虑multi letter state（用plethystic exponential）并对破缺后的规范群积分 $$ I_{\{n_i;N_i\}}^{\mathrm{BMN}} ={}\int\prod_{k=1}^{K}[dU_k] \exp\left[ \sum_{m=1}^{\infty}\frac1m \sum_{k,l=1}^{K} \iota_{kl}^{(m)}(\Delta_i) \operatorname{Tr}U_k^{\dagger m} \operatorname{Tr}U_l^m \right] $$ 此时就计算了一个确定的真空，然后我们还需要对所有真空求和来得到整个理论的index $$ I^{\mathrm{BMN}} = \sum_{\substack{ n_i,N_i\in\mathbb Z_{>0}\\ N_i\neq N_j\ (i\neq j)\\ N=\sum_{k=1}^{K}n_kN_k }} I_{\{n_i;N_i\}}^{\mathrm{BMN}} $$ ## 3 Symmetric-group character expansion of the BMN index 作者在这章主要使用Frobenius character formular来直接积分出来。 为了简化计算，作者考虑上一节公式在$\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=\Delta,\quad t^2=e^{-\Delta}$的情况，对$k=l$的diagonal block，此时single letter index为 $$ \iota_{aa}(t^m) = 1-(1-t^{2m})^3 \sum_{j=0}^{N_a-1}t^{6jm} $$ 对offdiagonal block，此时为 $$ \iota_{ab}(t^m) ={}(1-t^{2m})^3\sum_{j=\frac12|N_a-N_b|}^{\frac12(N_a+N_b)-1} (-1)^{2jm+1}t^{6jm} $$ ## 3.1 Single partition index 对$N=n_1N_1$，此时破缺到$U(n_1)$，index为 $$ I_{n_1;N_1}^{\mathrm{BMN}}(t) = \int[dU]\, \exp\left[ \sum_{m=1}^\infty \frac1m\iota_{11}(t^m) \operatorname{Tr}U^m \operatorname{Tr}U^{\dagger m} \right] $$ 展开为 $$ I_{n_1;N_1}^{\mathrm{BMN}}(t) =\int[dU]\prod_{j=1}^\infty \sum_{k_j=0}^\infty\frac1{k_j!} \left[ \frac1j\iota_{11}(t^j) \operatorname{Tr}U^j \operatorname{Tr}U^{\dagger j} \right]^{k_j} $$ 可以利用整数分拆进行化简 $$ I_{n_1;N_1}^{\mathrm{BMN}}(t) = \int[dU] \sum_P \frac{\iota_{11}(t)_P}{z_P} \mathcal O_P(U)\mathcal O_P(U^\dagger) $$ 其中$P = (1^{k_1}2^{k_2}\cdots)$，$\mathcal{O}_P(U)=\prod_{m\ge 1}(\mathrm{Tr}U^m)^{k_m}$，$z_P = \prod_{m\ge 1}k_m!m^{k_m}$，$\iota_{kl}(t)_P = \prod_{m\ge 1}\iota_{kl}(t^m)^{k_m}$ 。注意这个分拆$P$不是BMN真空的分拆，而只是plethystic exponential展开导致的。 记$\lambda\vdash m$也是一个分拆，$\chi^{\lambda}(P)$为对称群$S_m$的irreducible character在cycle type为$P$的元素上的取值（因为特征标是类函数，此时$\lambda$标记了这个分拆所对应的具体的表示，$P$标记了具体的共轭类，二者综合起来给出一个特征标的值），而$\tilde{\chi}_{\lambda}(U)$表示$U(n_1)$的irreducible character（unitary的特征标就是Schur Polynomials），此时有公式 $$ \mathcal O_P(U) = \sum_{\substack{\lambda\vdash|P|\\ \ell(\lambda)\leq n_1}} \chi^\lambda(P)\widetilde\chi_\lambda(U) $$ 利用不可约特征标的正交关系，积分可得 $$ I_{n_1;N_1}^{\mathrm{BMN}}(t) = \sum_P \frac{\iota_{11}(t)_P}{z_P} \sum_{\substack{\lambda\vdash|P|\\ \ell(\lambda)\leq n_1}} [\chi^\lambda(P)]^2 $$ ## 3.2 Multi-partition index 上述$N=n_1N_1$可以推广到更一般的情况$N=\sum_{r=1}^{K}n_rN_r$ ，此时规范群为$G = \prod_{r=1}^K U(n_r)$，对应的index为 $$ I_{\{n_i;N_i\}}^{\mathrm{BMN}}(t) ={}\int\prod_{r=1}^{K}[dU_r]\exp\left[ \sum_{m=1}^{\infty}\frac1m \sum_{k,l=1}^{K} \iota_{kl}(t^m) \operatorname{Tr}U_k^{\dagger m} \operatorname{Tr}U_l^m \right] $$ 此时不能只使用一个整数分拆$P$，而是对每一对$(k,l)$均引入一个分拆 $$ P_{kl}=(1^{a_{kl,1}}2^{a_{kl,2}}\cdots) $$ 同样得到 $$ I_{\{n_i;N_i\}}^{\mathrm{BMN}}(t) ={} \sum_{\{P_{kl}\}}C_{\{P_{kl}\}} \int\prod_{r=1}^{K}[dU_r] \prod_{k,l=1}^{K} \mathcal O_{P_{kl}}(U_l) \mathcal O_{P_{kl}}(U_k^\dagger) $$ 其中 $$ C_{\{P_{kl}\}} = \prod_{k,l=1}^{K} \frac{\iota_{kl}(t)_{P_{kl}}}{z_{P_{kl}}} $$ 作者随后定义了partition的相加与incoming和outgoing partitions $$ P^L_r :=\sum_{k=1}^K P_{kr}\quad P^R_r:=\sum_{l=1}^K P_{rl} $$ 此时index的表达式为 $$ I_{\{n_i;N_i\}}^{\mathrm{BMN}}(t) ={} \sum_{\substack{ \{P_{kl}\} |P_r^L|=|P_r^R|,\ \forall r }} \left[ \prod_{k,l=1}^{K} \frac{\iota_{kl}(t)_{P_{kl}}}{z_{P_{kl}}} \right] \prod_{r=1}^{K} \left[ \sum_{\substack{ \lambda_r\vdash|P_r^L|\ell(\lambda_r)\leq n_r }} \chi^{\lambda_r}(P_r^L) \chi^{\lambda_r}(P_r^R) \right] $$ # 4 Residue expansion of the BMN index 第四章的核心目标是建立一种不同于第三章 symmetric-group character expansion 的方法，利用复分析中的留数定理，将 BMN index 的矩阵积分转化为对 rooted trees 的组合求和。 回顾第三章的出发点的每个分区的一般index公式为 $$ I_{\{n_k,N_k\}}^{\mathrm{BMN}} ={}\int\prod_{k=1}^{K}[dU_k]\exp\left[ \sum_{m=1}^{\infty}\frac1m \sum_{k,l=1}^{K} \iota_{kl}^{(m)} \operatorname{Tr}U_k^{\dagger m} \operatorname{Tr}U_l^m \right] $$ 首先将每个$U(n_k)$矩阵对角化为 $$ U_k = \mathrm{diag}(y_{k,1},\cdots,y_{k,n_k}) $$ 利用Weyl integration formula $$ \int[dU_k] = \frac1{n_k!} \oint\prod_{a=1}^{n_k} \frac{dy_{k,a}}{2\pi i y_{k,a}} \prod_{a