一个关于M theory的基本问题是N个重合M2膜应该如何描述，之前人们有两个线索。其一是低能下由AdS/CFT为一个CFT；其二是强耦合下应该等价于Type IIA理论的中的N个重合D2膜，此时应该是某种强耦合的规范理论。Schwartz（0411077）提出这可能是CSM理论而非3d Yang Mills。2009年的ABJM很好的验证了这一点，之后人们也提出了各种对应于一般SE7空间的理论。值得注意的是，超对称Chern-Simons matter理论一般不是拓扑的，不过在红外下可以加强到SCFT。因为CS理论的原因，此时规范场部分主要施加约束，物质场仍存在动力学。

对于这些理论，一般是通过考虑其模空间确实是对应的CY4来进行检验。回顾对$Y_7 = S^7/\mathbb{Z}_k, X= \mathbb{C}^4/\mathbb{Z}_k$的ABJM，单个M2 brane vacuum moduli就是X，N-brane vacuum moduli应该为$Sym^N(\mathbb{C}^4/\mathbb{Z}_k)$。不过很有可能多个不同的理论有相同的模空间对应。

以下CY均指Toric的，第二章主要说明$CY_3\times S^1\times \mathbb{R}$ 可以变成CY4，进一步说明紧化在CY4上的M理论和$CY_3\times\mathbb{R}$上的TypeIIA理论对偶。这个$S^1$纤维化不平凡，并且对应Chern class 2形式通量与Toric CY的电荷有关系。由于M theory到TypeIIA时，对应时空的圆的联络对应到一个U(1)规范场，因此这个Chern number应该对应到TypeIIA中C_1的场强F_2。

第三章主要目的是说明TypeIIA里面$X_3$上D2膜理论和M理论里面$X_4$上M2膜CSM理论的关系。
先回顾了D2膜规范理论。对$X_3$上的TypeIIA理论，如果$X_3$无奇点的话则就是$3d\ U(N)$规范理论，而对于$X_3$上出现奇点时，横向坐标位于奇点的D2膜可以分解为多个（包裹收缩的period的）分数膜，对应着quiver理论中的规范群，在分数膜之间的开弦对应bifund。这些分数膜可以携带D2，D4，D6 charge。

进一步，对D4膜的Wess-Zumino term（对一般的Dp膜，WZ项为$S_{WZ}=\mu_p\int_{W^{p+1}}\mathrm{Tr}(e^{2\pi\alpha^{'}F+B}\wedge P[C_{RR}])$）
$$
\int _{C\times\mathbb{R}^{2,1}}C_1\wedge\mathrm{Tr}(F\wedge F)
$$
分布积分为
$$
(\int_C F_{2})\int_{\mathbb{R}^{2,1}}\omega_{CS}
$$
这说明RR通量对应着CS level，Wess-Zumino项对应到CS项。同时对D6膜的话，RR 3form的通量也贡献CS项。由于这个Bosonic CS term会破坏N=2，因此还需要补充一个对应的费米项。

之后5章是五个具体例子，这五个具体例子基本上就是下面这套：
- 选择一个local Calabi-Yau $X_3$
- 找出其消失周期和分数 D 膜
- 写出 D2 膜上的 quiver 规范理论
- 打开 RR 通量，得到 Chern-Simons level
- 通过三维标量-矢量对偶性得到 Calabi-Yau $X_4$
这样就可以把M2 quiver theory用D2 quiver theory的brane tiling方法表达。第九章提到了N=1的$G_2$ 理论，但是笔者不是很关心这个，因此没看。