S.Pasquetti的几个工作(1111.6905 1211.1986)表明，3d $\mathcal{N}=2$ 理论的配分函数可以被写成多个全纯block的乘积，而每个block是由massive vacua标记的。在Cardy limit下，每个全纯block都可以由twisted superpotential确定。这篇文章用"机器学习"的方法研究了ABJM的effective twisted superpotential。Effective twisted superpotential的大N scaling已经早都知道是$N^{3/2}$ ，但是finite N correction还完全未解决。这篇文章发现k=1,2,4的时候finite N correction是modular form。

这篇文章用到的"ML"方法是physics informed symbolic regression(1905.11481,2305.01582)，sparse high precision regression和integer-relation detection。这些方法主要目的是得到exact formula。


我首先先回顾一下Holomorphic Block有关的结果，因为我不是非常熟悉这个结论，虽然大概有知道一点。定义就是3d $\mathcal{N}=2$放在$D^2\times_q S^1$上面（边界为$T^2$），其中$S^1$沿着$D^2$ cigar方向有一个holonomy $q$，定义
$$
B^{\alpha}(x;q) = Z[D^2\times_q S^1]
$$
这里的$\alpha$即“无穷远处位于真空$\alpha$中”，$B^{\alpha}(x;q)$可以写成一个Index的形式（全纯地依赖$x,q$）。我们可以把squashed sphere$S^3_b$分成两个$D^2\times S^1$沿着$T^2$粘起来，粘的地方插入
$$
1 = \sum_{\alpha}|\alpha\rangle\langle\alpha|
$$
这样
$$
Z_{S_b^3} = \sum_{\alpha} B^{\alpha}(x;q)B^{\alpha}(\tilde{x};\tilde{q})
$$
其中($q = e^{2\pi i b^2},x = e^{2\pi b \mu}$)，对tilde $b\to \frac{1}{b}$。对$S^2\times_q S^1$也有类似的表达方式。对于Generic real mass的3d理论沿着$S^1$到2d后，记twisted chiral multiplet的标量$\sigma_{a}$，定义$s_a = e^{\sigma_a},x_i = e^{m_i}$，2d理论有twisted superpotential。对于Bethe equation
$$
\exp\left(s_a\frac{\partial \tilde{\mathcal{W}}}{\partial s_a}\right) = 1
$$
这个方程有有限个离散解$s_a = s_a^{(\alpha)}$标记每个真空。Block应该可以写成一个对$s_a$的路径积分。

在Cardy limit($q = e^{\hbar}, \ h\to 0$)下，Block有渐进形式
$$
B^{\alpha}(x;q) \sim \exp\left[\frac{1}{\hbar}\tilde{\mathcal{W}}(x,s^{(\alpha)};\hbar)+ O(1)\right]
$$
此时twisted superpotential 在该临界点的取值决定 block 的 leading exponential。


再简单抄一下Hosseni的推导和结论。对ABJM的twisted superpotential，其中$u,\tilde{u}$是两个规范群的Holonomy，$n,\tilde{n}$是Bethe的多值性

$$
\widetilde W= \sum_i\left[ \frac{k}{2}(\widetilde u_i^2-u_i^2) -2\pi(\widetilde n_i\widetilde u_i-n_i u_i) \right] +\sum_{i,j,\sigma,a} \sigma\,\mathrm{Li}_2 \left(e^{i(\widetilde u_j-u_i+\sigma\Delta_a)}\right)
$$
取$\Delta_a = \frac{\pi}{2}$ 和$n = \tilde{n} = -i$，此时$Re \tilde{W} =  0$ ，只用考虑虚部。 高精度的求解这个方程发现
$$
Im\tilde{\mathcal{W}}_{pert}(N,k) = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{k}{2}}\hat{N}^{3/2}+C(k)
$$
其中$\hat{N}$是所谓的shifted rank
$$
\hat{N} = N -\frac{k}{24}+\frac{2}{3k}
$$
又利用integer-relation detection找出了$C(k)$的解析表达式以及一个积分表达式。作者主要的方法是先对大量(N,k)求解Bethe方程，普遍有200位精度。然后做ansatz
$$
a_k(N+s_k)^{3/2}+C(k)
$$
并且做非线性拟合。

twisted superpotential不仅有微扰部分，也有非微扰贡献。作者定义
$$
t = 2\pi \sqrt{\frac{2\hat{N}}{k}},\quad q=e^{-t}
$$
然后用$q^m,tq^m$来做拟合。结论是在$k=1,2,4$的时候系数可以精确表达为有理数，而这些有理数是$E_4$的Fourier系数。

我觉得Hosseini对数值方法的使用已经炉火纯青了，最近两篇都是这样。去年那篇发了PRL，祝他这篇也顺利发表。